函数在某点连续需要满足以下三个条件:
函数在该点有定义:
即函数在点x0处有定义,记作f(x0)存在。
极限存在且等于函数值:
即当x趋近于x0时,函数的极限存在且等于f(x0),数学表达式为:如果存在极限lim(x->x0)f(x),并且lim(x->x0)f(x) = f(x0),则称函数f(x)在点x0处连续。
左连续和右连续:
即函数在x0处的左极限和右极限都存在且分别等于f(x0),这也可以理解为函数在x0处既左连续又右连续。
综上所述,函数f(x)在点x0处连续的充要条件是:
f(x)在x0处有定义;
lim(x->x0)f(x)存在;
lim(x->x0)f(x) = f(x0)。
这些条件确保了函数在点x0处的变化是“平滑”的,没有突变或跳跃。